Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (x^6 - 3x^4 + 2) \, dx\)? a) 0 b) 1 c) 2 d) -1

Para calcular a integral \(\int_0^1 (x^6 - 3x^4 + 2) \, dx\), vamos integrar a função \(x^6 - 3x^4 + 2\) em relação a \(x\). 1. Integração: - A integral de \(x^6\) é \(\frac{x^7}{7}\). - A integral de \(-3x^4\) é \(-\frac{3x^5}{5}\). - A integral de \(2\) é \(2x\). Portanto, a integral definida fica: \[ \int (x^6 - 3x^4 + 2) \, dx = \frac{x^7}{7} - \frac{3x^5}{5} + 2x + C \] 2. Avaliação nos limites de 0 a 1: - Avaliando em \(x = 1\): \[ \frac{1^7}{7} - \frac{3 \cdot 1^5}{5} + 2 \cdot 1 = \frac{1}{7} - \frac{3}{5} + 2 \] - Para calcular isso, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum de 7 e 5 é 35: \[ \frac{1}{7} = \frac{5}{35}, \quad -\frac{3}{5} = -\frac{21}{35}, \quad 2 = \frac{70}{35} \] - Portanto: \[ \frac{5}{35} - \frac{21}{35} + \frac{70}{35} = \frac{5 - 21 + 70}{35} = \frac{54}{35} \] - Avaliando em \(x = 0\): \[ \frac{0^7}{7} - \frac{3 \cdot 0^5}{5} + 2 \cdot 0 = 0 \] 3. Resultado da integral: \[ \int_0^1 (x^6 - 3x^4 + 2) \, dx = \frac{54}{35} - 0 = \frac{54}{35} \] Como \(\frac{54}{35}\) não está entre as opções, parece que houve um erro nas alternativas. No entanto, se considerarmos a aproximação, a resposta mais próxima é a opção c) 2, mas a integral correta é \(\frac{54}{35}\). Se precisar de mais ajuda, é só avisar!