Qual é o valor de \( an(240^ extcirc + 30^ extcirc) \)? A) \( -\frac{1}{\sqrt{3}} \) B) \( 1 \) C) \( 0 \) D) \( -\sqrt{3} \)

Para resolver a questão, precisamos usar a fórmula da tangente da soma de ângulos: \[ \tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a) \tan(b)} \] Neste caso, temos \( a = 240^\circ \) e \( b = 30^\circ \). Primeiro, vamos calcular \( \tan(240^\circ) \) e \( \tan(30^\circ) \): - \( \tan(240^\circ) = \tan(180^\circ + 60^\circ) = \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \) (mas como está no terceiro quadrante, é negativo, então \( \tan(240^\circ) = -\sqrt{3} \)). - \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Agora, substituindo na fórmula: \[ \tan(240^\circ + 30^\circ) = \frac{-\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - (-\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} \] Calculando o denominador: \[ 1 - (-\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 1 + 1 = 2 \] Agora, o numerador: \[ -\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{3}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} \] Portanto, temos: \[ \tan(240^\circ + 30^\circ) = \frac{-\frac{2}{\sqrt{3}}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \] Assim, a resposta correta é: A) \( -\frac{1}{\sqrt{3}} \)