Grátis: Problema 23: Determine a derivada de f(x) = e^{3x} ext{cos}(2x). a) 3e^{3x} ext{cos}(2x) - 2e^{3x} ext{sin}(2x) b) 3e^{3x} ext{sin}(2x) + 2e^{...

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Problema 23: Determine a derivada de f(x) = e^{3x} ext{cos}(2x).

a) 3e^{3x} ext{cos}(2x) - 2e^{3x} ext{sin}(2x)
b) 3e^{3x} ext{sin}(2x) + 2e^{3x} ext{cos}(2x)
c) -2e^{3x} ext{cos}(2x) + 3e^{3x} ext{sin}(2x)
d) 6e^{3x} ext{cos}(2x) + 4e^{3x} ext{sin}(2x)

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Para determinar a derivada da função \( f(x) = e^{3x} \cos(2x) \), vamos usar a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \) é dada por: \[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \] Neste caso, temos: - \( u(x) = e^{3x} \) e \( v(x) = \cos(2x) \) Calculando as derivadas: - \( u'(x) = 3e^{3x} \) (derivada de \( e^{3x} \)) - \( v'(x) = -2\sin(2x) \) (derivada de \( \cos(2x) \)) Agora, aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = (3e^{3x})(\cos(2x)) + (e^{3x})(-2\sin(2x)) \] Simplificando, temos: \[ f'(x) = 3e^{3x} \cos(2x) - 2e^{3x} \sin(2x) \] Portanto, a alternativa correta é: a) \( 3e^{3x} \cos(2x) - 2e^{3x} \sin(2x) \)

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