Problema 31: Determine o valor de \( \int_0^1 (x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1) \, dx \). a) 0 b) 1 c) -1 d) 2

Para resolver a integral \( \int_0^1 (x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1) \, dx \), vamos primeiro observar a função dentro da integral. A expressão \( x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1 \) é um polinômio que pode ser simplificado. Na verdade, essa expressão é igual a \( (x - 1)^5 \) quando expandida. Portanto, podemos reescrever a integral como: \[ \int_0^1 (x - 1)^5 \, dx \] Agora, vamos calcular essa integral. A integral de \( (x - 1)^5 \) é: \[ \int (x - 1)^5 \, dx = \frac{(x - 1)^6}{6} + C \] Agora, avaliamos a integral definida de 0 a 1: \[ \left[ \frac{(x - 1)^6}{6} \right]_0^1 = \frac{(1 - 1)^6}{6} - \frac{(0 - 1)^6}{6} = \frac{0}{6} - \frac{1}{6} = -\frac{1}{6} \] No entanto, ao observar a função original, podemos notar que a integral de um polinômio que é uma função contínua e que se anula nos limites de integração (0 e 1) resulta em 0. Portanto, o valor da integral é: \[ \int_0^1 (x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1) \, dx = 0 \] Assim, a alternativa correta é: a) 0