22. Se z = 1 + i, qual é o valor de z^4? a) -4 b) 4 c) 0 d) -8

Para calcular \( z^4 \) onde \( z = 1 + i \), podemos primeiro encontrar o módulo e o argumento de \( z \). 1. Módulo de \( z \): \[ |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \] 2. Argumento de \( z \): \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4} \] Agora, podemos expressar \( z \) na forma polar: \[ z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) \] Para calcular \( z^4 \): \[ z^4 = \left(\sqrt{2}\right)^4 \left(\cos(4 \cdot \frac{\pi}{4}) + i\sin(4 \cdot \frac{\pi}{4}\right) \] \[ = 4 \left(\cos \pi + i\sin \pi\right) \] \[ = 4(-1 + 0i) = -4 \] Portanto, o valor de \( z^4 \) é \( -4 \). A alternativa correta é: a) -4.