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Qual o valor de k para o qual a função h definida por: h ( x )=k ( x+2 )2−( x−1 ) ( x−2 ) , k ϵ R admite um único zero?

(A) −1/48
(B) 1/48
(C) 48
(D) −48
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Desafios para Aprender

há 11 meses

Respostas

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há 11 meses

Para que a função \( h(x) = k(x+2)^2 - (x-1)(x-2) \) admita um único zero, precisamos que a equação \( h(x) = 0 \) tenha uma única solução. Isso ocorre quando a função é tangente ao eixo x, ou seja, quando a equação quadrática resultante tem uma única raiz. Primeiro, vamos simplificar a função: 1. Expanda \( (x-1)(x-2) \): \[ (x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2 \] 2. Substitua na função \( h(x) \): \[ h(x) = k(x+2)^2 - (x^2 - 3x + 2) \] 3. Expanda \( k(x+2)^2 \): \[ k(x+2)^2 = k(x^2 + 4x + 4) = kx^2 + 4kx + 4k \] 4. Agora, substitua na função: \[ h(x) = kx^2 + 4kx + 4k - (x^2 - 3x + 2) \] \[ h(x) = (k-1)x^2 + (4k + 3)x + (4k - 2) \] Para que essa função tenha um único zero, o discriminante deve ser igual a zero: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 0 \] onde \( a = k-1 \), \( b = 4k + 3 \), e \( c = 4k - 2 \). Calculando o discriminante: \[ (4k + 3)^2 - 4(k-1)(4k - 2) = 0 \] Resolvendo essa equação, você encontrará o valor de \( k \) que faz com que a função tenha um único zero. Após realizar os cálculos, você encontrará que o valor de \( k \) que satisfaz essa condição é \( k = \frac{1}{48} \). Portanto, a alternativa correta é: (B) 1/48.

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