Para encontrar os valores de \( k \) que fazem a distância entre os pontos \( A(-1, 1, k) \) e \( B(3, 1, -1) \) ser igual a 5, utilizamos a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Substituindo os pontos \( A \) e \( B \): \[ d = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 1)^2 + (-1 - k)^2} \] Simplificando: \[ d = \sqrt{(3 + 1)^2 + 0^2 + (-1 - k)^2} = \sqrt{4^2 + (-1 - k)^2} = \sqrt{16 + (k + 1)^2} \] Queremos que essa distância seja igual a 5: \[ \sqrt{16 + (k + 1)^2} = 5 \] Elevando ambos os lados ao quadrado: \[ 16 + (k + 1)^2 = 25 \] Subtraindo 16 de ambos os lados: \[ (k + 1)^2 = 9 \] Agora, tiramos a raiz quadrada: \[ k + 1 = 3 \quad \text{ou} \quad k + 1 = -3 \] Resolvendo as duas equações: 1. \( k + 1 = 3 \) → \( k = 2 \) 2. \( k + 1 = -3 \) → \( k = -4 \) Portanto, os valores de \( k \) que satisfazem a condição são \( k = 2 \) e \( k = -4 \). Analisando as alternativas: (A) \( k = -4 \lor k = -2 \) (B) \( k = -4 \lor k = 2 \) (C) \( k = 0 \lor k = 2 \) (D) \( k = 4 \lor k = -2 \) A alternativa correta é: (B) \( k = -4 \lor k = 2 \).