Para resolver a proposição «∀ x∈R ,a (x )⇒b ( x )», precisamos analisar as condições dadas: 1. Condição a(x): \(x^2 - 2x > 0\) - Essa inequação pode ser fatorada como \(x(x - 2) > 0\). As raízes são \(x = 0\) e \(x = 2\). A solução é \(x < 0\) ou \(x > 2\). 2. Condição b(x): \(x^2 - x - 2 \neq 0\) - Essa equação pode ser fatorada como \((x - 2)(x + 1) \neq 0\). As raízes são \(x = 2\) e \(x = -1\). Portanto, a condição b(x) é satisfeita para \(x \neq 2\) e \(x \neq -1\). Agora, vamos verificar a proposição \(a(x) \Rightarrow b(x)\): - Para \(x < 0\) (satisfeita a condição a), temos que \(b(x)\) é verdadeira, pois \(x\) não é igual a 2 nem a -1. - Para \(x > 2\) (satisfeita a condição a), também temos que \(b(x)\) é verdadeira, pois \(x\) não é igual a 2 nem a -1. No entanto, precisamos verificar se existe algum valor de \(x\) que satisfaça \(a(x)\) e não satisfaça \(b(x)\). O único valor que pode causar problemas é \(x = 2\), que não satisfaz \(b(x)\), mas não satisfaz \(a(x)\) também, pois \(a(2) = 0\). Portanto, não existe um \(x\) em \(R\) que satisfaça \(a(x)\) e não satisfaça \(b(x)\). Assim, a proposição \(∀ x∈R ,a (x )⇒b ( x )\) é verdadeira. A resposta correta é: (B) Verdade.