Para calcular a integral \( \int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx \), podemos usar a técnica de frações parciais. O denominador \( x^2 - 1 \) pode ser fatorado como \( (x - 1)(x + 1) \). Assim, podemos escrever: \[ \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} \] Multiplicando ambos os lados por \( (x - 1)(x + 1) \) e resolvendo para \( A \) e \( B \), encontramos que: \[ 1 = A(x + 1) + B(x - 1) \] Ao resolver, obtemos \( A = \frac{1}{2} \) e \( B = -\frac{1}{2} \). Portanto, podemos reescrever a integral como: \[ \int \left( \frac{1/2}{x - 1} - \frac{1/2}{x + 1} \right) dx \] Integrando, temos: \[ \frac{1}{2} \ln|x - 1| - \frac{1}{2} \ln|x + 1| + C \] Agora, analisando as alternativas: A) \( \frac{1}{2} \ln|x - 1| - \frac{1}{2} \ln|x + 1| + C \) - Esta está correta. B) \( \ln|x - 1| + C \) - Incorreta, pois não considera o fator \( \frac{1}{2} \). C) \( \frac{1}{2} \ln|x^2 - 1| + C \) - Incorreta, pois não é a forma correta da integral. D) \( \ln|x^2 + 1| + C \) - Incorreta, pois não corresponde à integral dada. Portanto, a alternativa correta é: A) \( \frac{1}{2} \ln|x - 1| - \frac{1}{2} \ln|x + 1| + C \).