Para resolver o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \), podemos usar a identidade trigonométrica que relaciona \( 1 - \cos(x) \) com \( \sin^2(x) \): \[ 1 - \cos(x) = 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) \] Substituindo na expressão do limite, temos: \[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{x^2} \] Agora, podemos reescrever \( x^2 \) como \( 4\left(\frac{x}{2}\right)^2 \): \[ = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{4\left(\frac{x}{2}\right)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{\left(\frac{x}{2}\right)^2} \] Sabemos que \( \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1 \). Portanto, substituindo \( u = \frac{x}{2} \): \[ = \lim_{u \to 0} \left(\frac{\sin(u)}{u}\right)^2 = 1^2 = 1 \] Assim, o limite é: \[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} \] Portanto, a alternativa correta é: B) \( \frac{1}{2} \).