Para determinar se \( W = \{(s, t, s+t) : s \text{ e } t \text{ são números reais}\} \) é um subespaço vetorial de \( V = \mathbb{R}^3 \), precisamos verificar as propriedades de fechamento para adição e multiplicação por escalar, além de verificar se o vetor nulo está em \( W \). 1. Vetor Nulo: O vetor nulo em \( \mathbb{R}^3 \) é \( (0, 0, 0) \). Para \( s = 0 \) e \( t = 0 \), temos \( (0, 0, 0 + 0) = (0, 0, 0) \), então o vetor nulo está em \( W \). 2. Fechamento para Adição: Se pegarmos dois vetores \( (s_1, t_1, s_1 + t_1) \) e \( (s_2, t_2, s_2 + t_2) \) em \( W \), a soma deles é: \[ (s_1 + s_2, t_1 + t_2, (s_1 + t_1) + (s_2 + t_2)) = (s_1 + s_2, t_1 + t_2, (s_1 + s_2) + (t_1 + t_2)) \] Portanto, a soma também está na forma \( (s, t, s+t) \), o que mostra que \( W \) é fechado para adição. 3. Fechamento para Multiplicação por Escalar: Para um vetor \( (s, t, s+t) \) em \( W \) e um escalar \( k \), temos: \[ k \cdot (s, t, s+t) = (ks, kt, k(s+t)) = (ks, kt, ks + kt) \] Isso também está na forma \( (s, t, s+t) \), mostrando que \( W \) é fechado para multiplicação por escalar. Dado que \( W \) contém o vetor nulo, é fechado para adição e multiplicação por escalar, podemos concluir que \( W \) é um subespaço vetorial de \( V \). Agora, analisando as alternativas: a) W não é um subespaço vetorial de V, pois não é fechado para a adição. (FALSO) b) W não é um subespaço vetorial de V, pois não é fechado para a multiplicação por escalar. (FALSO) c) W é vazio. (FALSO) d) W é um subespaço vetorial de V. (VERDADEIRO) Portanto, a alternativa correta é: d) W é um subespaço vetorial de V.