Para calcular a série de Taylor da função \(f(x) = \cos(x)\) centrada em \(x = 0\) até a ordem 4, precisamos lembrar que a série de Taylor é dada por: \[ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \ldots \] Calculando as derivadas de \(f(x) = \cos(x)\): 1. \(f(0) = \cos(0) = 1\) 2. \(f'(x) = -\sin(x) \Rightarrow f'(0) = -\sin(0) = 0\) 3. \(f''(x) = -\cos(x) \Rightarrow f''(0) = -\cos(0) = -1\) 4. \(f'''(x) = \sin(x) \Rightarrow f'''(0) = \sin(0) = 0\) 5. \(f^{(4)}(x) = \cos(x) \Rightarrow f^{(4)}(0) = \cos(0) = 1\) Agora, substituindo na fórmula da série de Taylor até a ordem 4: \[ f(x) = 1 + 0 \cdot x - \frac{1}{2}x^2 + 0 \cdot x^3 + \frac{1}{24}x^4 \] Portanto, a série de Taylor até a ordem 4 é: \[ f(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \] Analisando as alternativas: A) \(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\) - Correta B) \(1 + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12}\) - Incorreta C) \(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{2}\) - Incorreta D) \(1 - \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12}\) - Incorreta A alternativa correta é: A) \(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\).