Problema 42: Calcule \( \int_1^2 (2x^2 + 3) \, dx \). a) \( 7 \) b) \( 9 \) c) \( 10 \) d) \( 8 \)

Para calcular a integral definida \( \int_1^2 (2x^2 + 3) \, dx \), vamos seguir os passos: 1. Encontrar a antiderivada da função \( 2x^2 + 3 \): - A antiderivada de \( 2x^2 \) é \( \frac{2}{3}x^3 \). - A antiderivada de \( 3 \) é \( 3x \). - Portanto, a antiderivada completa é \( \frac{2}{3}x^3 + 3x \). 2. Avaliar a antiderivada nos limites de 1 a 2: - Primeiro, calculamos em \( x = 2 \): \[ \frac{2}{3}(2^3) + 3(2) = \frac{2}{3}(8) + 6 = \frac{16}{3} + 6 = \frac{16}{3} + \frac{18}{3} = \frac{34}{3} \] - Agora, calculamos em \( x = 1 \): \[ \frac{2}{3}(1^3) + 3(1) = \frac{2}{3}(1) + 3 = \frac{2}{3} + 3 = \frac{2}{3} + \frac{9}{3} = \frac{11}{3} \] 3. Subtrair os resultados: \[ \int_1^2 (2x^2 + 3) \, dx = \left( \frac{34}{3} - \frac{11}{3} \right) = \frac{23}{3} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( 7 \) b) \( 9 \) c) \( 10 \) d) \( 8 \) Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado \( \frac{23}{3} \) que é aproximadamente \( 7,67 \). Portanto, parece que não há uma resposta correta entre as opções fornecidas. Você pode querer verificar se as opções estão corretas ou se houve algum erro na formulação da pergunta.