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32. **Problema 32:** Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3}{4x^2 - 5} \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** c) \( \frac{1}{2} \) 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos pelo maior grau de \( x^2 \), obtemos \( 
\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x^2}}{4 - \frac{5}{x^2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \). 
 
33. **Problema 33:** Qual é a série de Taylor de \( \ln(1+x) \) em torno de \( x = 0 \)? 
 a) \( x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \) 
 b) \( 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots \) 
 c) \( x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \ldots \) 
 d) \( 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \ldots \) 
 **Resposta:** a) \( x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \) 
 **Explicação:** A série de Taylor para \( \ln(1+x) \) é dada por \( \sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} \). 
 
34. **Problema 34:** Calcule a integral \( \int_0^1 (x^2 + 1) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{3} \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( \frac{2}{3} \) 
 d) \( \frac{5}{3} \) 
 **Resposta:** d) \( \frac{5}{3} \) 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_0^1 = \left( \frac{1}{3} + 1 
\right) - (0) = \frac{4}{3} \). 
 
35. **Problema 35:** Qual é a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x} \)? 
 a) \( -\frac{1}{x^2} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2} \) 
 c) \( -x^{-1} \) 
 d) \( -\frac{1}{x} \) 
 **Resposta:** a) \( -\frac{1}{x^2} \) 
 **Explicação:** A derivada é calculada como \( f'(x) = -\frac{1}{x^2} \). 
 
36. **Problema 36:** Encontre o valor de \( \int_1^2 (4x^3 - 2x^2 + 1) \, dx \). 
 a) \( 6 \) 
 b) \( 4 \) 
 c) \( 3 \) 
 d) \( 5 \) 
 **Resposta:** d) \( 5 \) 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ x^4 - \frac{2}{3}x^3 + x \right]_1^2 = \left( 16 - 
\frac{16}{3} + 2 \right) - \left( 1 - \frac{2}{3} + 1 \right) = 5 \). 
 
37. **Problema 37:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( \infty \) 
 d) \( e \) 
 **Resposta:** b) \( 1 \) 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 
1}{x} = 1 \). 
 
38. **Problema 38:** Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)? 
 a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 c) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
 d) \( \frac{1}{x} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = 
\frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
39. **Problema 39:** Encontre a integral \( \int (3x^2 - 2) \, dx \). 
 a) \( x^3 - 2x + C \) 
 b) \( x^3 + C \) 
 c) \( 2x^3 - 2x + C \) 
 d) \( 3x^3 - 2x + C \) 
 **Resposta:** a) \( x^3 - 2x + C \) 
 **Explicação:** A integral é calculada como \( \int 3x^2 \, dx - \int 2 \, dx = x^3 - 2x + C \). 
 
40. **Problema 40:** Calcule \( \int_0^1 (x^3 + 3x^2) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{4} \) 
 b) \( \frac{1}{3} \) 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{5}{12} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{1}{4} \) 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{x^4}{4} + x^3 \right]_0^1 = \left( \frac{1}{4} + 1 
\right) - 0 = \frac{5}{12} \). 
 
41. **Problema 41:** Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 2y + 3 \) 
com a condição inicial \( y(0) = 1 \)? 
 a) \( y = e^{2x} + 1 \) 
 b) \( y = \frac{3}{2} e^{2x} + \frac{3}{2} \) 
 c) \( y = \frac{3}{2} e^{2x} - \frac{3}{2} \) 
 d) \( y = e^{2x} - 3 \) 
 **Resposta:** b) \( y = \frac{3}{2} e^{2x} + \frac{3}{2} \) 
 **Explicação:** A solução geral é \( y = Ce^{2x} - \frac{3}{2} \). Usando a condição inicial, 
encontramos \( C = \frac{5}{2} \). 
 
42. **Problema 42:** Calcule \( \int_1^2 (2x^2 + 3) \, dx \). 
 a) \( 7 \) 
 b) \( 9 \) 
 c) \( 10 \) 
 d) \( 8 \) 
 **Resposta:** c) \( 10 \)