Problema 36: Encontre o valor de \( \int_1^2 (4x^3 - 2x^2 + 1) \, dx \). a) \( 6 \) b) \( 4 \) c) \( 3 \) d) \( 5 \)

Para resolver a integral \( \int_1^2 (4x^3 - 2x^2 + 1) \, dx \), vamos calcular a primitiva da função \( 4x^3 - 2x^2 + 1 \). 1. A primitiva de \( 4x^3 \) é \( x^4 \). 2. A primitiva de \( -2x^2 \) é \( -\frac{2}{3}x^3 \). 3. A primitiva de \( 1 \) é \( x \). Portanto, a primitiva da função é: \[ F(x) = x^4 - \frac{2}{3}x^3 + x \] Agora, vamos calcular \( F(2) \) e \( F(1) \): \[ F(2) = 2^4 - \frac{2}{3}(2^3) + 2 = 16 - \frac{16}{3} + 2 = 16 + 2 - \frac{16}{3} = 18 - \frac{16}{3} = \frac{54}{3} - \frac{16}{3} = \frac{38}{3} \] \[ F(1) = 1^4 - \frac{2}{3}(1^3) + 1 = 1 - \frac{2}{3} + 1 = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \] Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_1^2 (4x^3 - 2x^2 + 1) \, dx = F(2) - F(1) = \frac{38}{3} - \frac{4}{3} = \frac{34}{3} \] Como \( \frac{34}{3} \) não está entre as opções, vamos verificar se houve algum erro nas opções ou no cálculo. No entanto, se considerarmos a aproximação, \( \frac{34}{3} \approx 11.33 \), que não se encaixa nas opções dadas. Parece que houve um erro nas opções ou na formulação da pergunta. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se a integral foi formulada corretamente. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!