Problema 35: Qual é a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x} \)? a) \( -\frac{1}{x^2} \) b) \( \frac{1}{x^2} \) c) \( -x^{-1} \) d) \( -\frac{1}{x} \)

Questões Para a Compreensão

há 10 meses

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Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \frac{1}{x} \), podemos usar a regra do quociente ou reescrever a função como \( f(x) = x^{-1} \) e aplicar a regra da potência. Se reescrevemos a função: \[ f(x) = x^{-1} \] A derivada, usando a regra da potência, é: \[ f'(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \] Agora, analisando as alternativas: a) \( -\frac{1}{x^2} \) - Correto. b) \( \frac{1}{x^2} \) - Incorreto. c) \( -x^{-1} \) - Incorreto. d) \( -\frac{1}{x} \) - Incorreto. Portanto, a alternativa correta é: a) \( -\frac{1}{x^2} \).

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Problema 32: Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3}{4x^2 - 5} \).

a) \( 0 \)
b) \( 1 \)
c) \( \frac{1}{2} \)
d) \( \infty \)

Problema 33: Qual é a série de Taylor de \( \ln(1+x) \) em torno de \( x = 0 \)?

a) \( x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \)
b) \( 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots \)
c) \( x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \ldots \)
d) \( 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \ldots \)

Problema 34: Calcule a integral \(\int_0^1 (x^2 + 1) \, dx\).

a) \( \frac{1}{3} \)
b) \( \frac{2}{3} \)
c) \( 1 \)
d) \( \frac{5}{3} \)

Problema 36: Encontre o valor de \( \int_1^2 (4x^3 - 2x^2 + 1) \, dx \).

a) \( 6 \)
b) \( 4 \)
c) \( 3 \)
d) \( 5 \)

37. Problema 37: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \).

A) 1
B) 0
C) \( \infty \)
D) -1

Problema 38: Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)?

a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)
b) \( \frac{1}{x^2 + 1} \)
c) \( \frac{2}{x^2 + 1} \)
d) \( \frac{1}{x} \)

Problema 39: Encontre a integral \( \int (3x^2 - 2) \, dx \).

a) \( x^3 - 2x + C \)
b) \( x^3 + C \)
c) \( 2x^3 - 2x + C \)
d) \( 3x^3 - 2x + C \)

Problema 40: Calcule \( \int_0^1 (x^3 + 3x^2) \, dx \).

a) \( \frac{1}{4} \)
b) \( \frac{1}{3} \)
c) \( \frac{1}{2} \)
d) \( \frac{5}{12} \)

Problema 41: Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 2y + 3 \) com a condição inicial \( y(0) = 1 \)?

a) \( y = e^{2x} + 1 \)
b) \( y = \frac{3}{2} e^{2x} + \frac{3}{2} \)
c) \( y = \frac{3}{2} e^{2x} - \frac{3}{2} \)
d) \( y = e^{2x} - 3 \)

Cálculo

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c) \( \frac{1}{2} \)
d) \( \infty \)

Problema 33: Qual é a série de Taylor de \( \ln(1+x) \) em torno de \( x = 0 \)?

a) \( x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \)
b) \( 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots \)
c) \( x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \ldots \)
d) \( 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \ldots \)

Problema 34: Calcule a integral \(\int_0^1 (x^2 + 1) \, dx\).

a) \( \frac{1}{3} \)
b) \( \frac{2}{3} \)
c) \( 1 \)
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b) \( 4 \)
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37. Problema 37: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \).

A) 1
B) 0
C) \( \infty \)
D) -1

Problema 38: Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)?

a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)
b) \( \frac{1}{x^2 + 1} \)
c) \( \frac{2}{x^2 + 1} \)
d) \( \frac{1}{x} \)

Problema 39: Encontre a integral \( \int (3x^2 - 2) \, dx \).

a) \( x^3 - 2x + C \)
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b) \( \frac{1}{3} \)
c) \( \frac{1}{2} \)
d) \( \frac{5}{12} \)

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a) \( y = e^{2x} + 1 \)
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37. **Problema 37:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \).A) 1B) 0C) \( \infty \)D) -1

Problema 38: Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)?a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)b) \( \frac{1}{x^2 + 1} \)c) \( \frac{2}{x^2 + 1} \)d) \( \frac{1}{x} \)

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37. Problema 37: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \).

A) 1
B) 0
C) \( \infty \)
D) -1

Problema 38: Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)?

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b) \( \frac{1}{x^2 + 1} \)
c) \( \frac{2}{x^2 + 1} \)
d) \( \frac{1}{x} \)

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d) \( y = e^{2x} - 3 \)