Problema 40: Calcule \( \int_0^1 (x^3 + 3x^2) \, dx \). a) \( \frac{1}{4} \) b) \( \frac{1}{3} \) c) \( \frac{1}{2} \) d) \( \frac{5}{12} \)

Para calcular a integral \( \int_0^1 (x^3 + 3x^2) \, dx \), vamos resolver passo a passo. 1. Calcular a integral: \[ \int (x^3 + 3x^2) \, dx = \int x^3 \, dx + \int 3x^2 \, dx \] 2. Integrar cada termo: - A integral de \( x^3 \) é \( \frac{x^4}{4} \). - A integral de \( 3x^2 \) é \( 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \). Portanto, temos: \[ \int (x^3 + 3x^2) \, dx = \frac{x^4}{4} + x^3 \] 3. Avaliar a integral definida de 0 a 1: \[ \left[ \frac{x^4}{4} + x^3 \right]_0^1 = \left( \frac{1^4}{4} + 1^3 \right) - \left( \frac{0^4}{4} + 0^3 \right) \] \[ = \left( \frac{1}{4} + 1 \right) - 0 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} = \frac{5}{4} \] 4. Verificar as alternativas: - a) \( \frac{1}{4} \) - b) \( \frac{1}{3} \) - c) \( \frac{1}{2} \) - d) \( \frac{5}{12} \) Parece que houve um erro na avaliação. Vamos corrigir isso: A integral correta é: \[ \int_0^1 (x^3 + 3x^2) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} + x^3 \right]_0^1 = \left( \frac{1}{4} + 1 \right) = \frac{5}{4} \] No entanto, essa resposta não está entre as opções. Vamos reavaliar a integral: A integral correta é: \[ \int_0^1 (x^3 + 3x^2) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} + x^3 \right]_0^1 = \left( \frac{1}{4} + 1 \right) = \frac{5}{4} \] Parece que não há uma opção correta entre as alternativas dadas. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se a integral foi formulada corretamente.