Determine a integral \(\int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx\). a) 0 b) \(\frac{1}{3}\) c) \(\frac{1}{5}\) d) \(\frac{1}{6}\)

Para resolver a integral \(\int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx\), vamos primeiro simplificar a expressão dentro da integral. A função \(x^4 - 2x^2 + 1\) pode ser reescrita como \((x^2 - 1)^2\). Agora, vamos calcular a integral: \[ \int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx = \int_0^1 (x^2 - 1)^2 \, dx \] Agora, vamos calcular a integral: 1. Calcule a integral de cada termo: \[ \int_0^1 x^4 \, dx = \left[\frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \frac{1}{5} \] \[ \int_0^1 -2x^2 \, dx = -2\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = -2 \cdot \frac{1}{3} = -\frac{2}{3} \] \[ \int_0^1 1 \, dx = [x]_0^1 = 1 \] 2. Agora, somamos os resultados: \[ \int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx = \frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1 \] Para somar, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo entre 5 e 3 é 15: \[ \frac{1}{5} = \frac{3}{15}, \quad -\frac{2}{3} = -\frac{10}{15}, \quad 1 = \frac{15}{15} \] Agora, somamos: \[ \frac{3}{15} - \frac{10}{15} + \frac{15}{15} = \frac{3 - 10 + 15}{15} = \frac{8}{15} \] Portanto, a integral \(\int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx = \frac{8}{15}\). Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a esse resultado. Você pode verificar se a pergunta ou as alternativas estão corretas.