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- a) \(4x^3 - 8x + C\) 
 - b) \(4x^3 - 4x + C\) 
 - c) \(4x^3 - 8 + C\) 
 - d) \(x^3 - 4x + C\) 
 **Resposta**: a) \(4x^3 - 8x + C\) 
 **Explicação**: A integral resulta em \(4x^3 - 4x + C\). 
 
47. **Problema 47**: Qual é o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x}{x^2 + 1}\)? 
 - a) 2 
 - b) 3 
 - c) 0 
 - d) \(\infty\) 
 **Resposta**: a) 2 
 **Explicação**: Os termos de maior grau dominam, simplificando para \(\frac{2x^2}{x^2} 
= 2\). 
 
48. **Problema 48**: Determine a integral \(\int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx\). 
 - a) 0 
 - b) \(\frac{1}{3}\) 
 - c) \(\frac{1}{5}\) 
 - d) \(\frac{1}{6}\) 
 **Resposta**: b) \(\frac{1}{3}\) 
 **Explicação**: A integral resulta em \(\left[\frac{x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + x\right]_0^1 = 
\frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}\). 
 
49. **Problema 49**: Qual é a derivada de \(f(x) = e^{2x}\)? 
 - a) \(2e^{2x}\) 
 - b) \(e^{2x}\) 
 - c) \(4e^{2x}\) 
 - d) \(2xe^{2x}\) 
 **Resposta**: a) \(2e^{2x}\) 
 **Explicação**: Usamos a regra da cadeia: \(\frac{d}{dx}(e^{u}) = e^{u} \cdot 
\frac{du}{dx}\). 
 
50. **Problema 50**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)}\). 
 - a) 0 
 - b) 1 
 - c) \(\infty\) 
 - d) -1 
 **Resposta**: b) 1 
 **Explicação**: Usamos a definição do limite, que resulta em 1. 
 
51. **Problema 51**: Determine a integral \(\int (x^3 + 4x^2) \, dx\). 
 - a) \(\frac{1}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 + C\) 
 - b) \(\frac{1}{4}x^4 + 4x^3 + C\) 
 - c) \(\frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 + C\) 
 - d) \(\frac{1}{4}x^4 + \frac{4}{2}x^3 + C\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{1}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 + C\) 
 **Explicação**: A integral resulta em \(\frac{1}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 + C\). 
 
52. **Problema 52**: Qual é a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 9} \, dx\)? 
 - a) \(\frac{1}{3} \tan^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) + C\) 
 - b) \(\tan^{-1}(x) + C\) 
 - c) \(\frac{1}{9} \tan^{-1}(x) + C\) 
 - d) \(\frac{1}{9} \tan^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) + C\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{1}{3} \tan^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) + C\) 
 **Explicação**: Usamos a substituição \(u = \frac{x}{3}\), resultando na integral 
conhecida. 
 
53. **Problema 53**: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2}\). 
 - a) 0 
 - b) \(-\frac{1}{2}\) 
 - c) 1 
 - d) \(\infty\) 
 **Resposta**: b) \(-\frac{1}{2}\) 
 **Explicação**: Usamos a série de Taylor para \(\cos(x)\), resultando em \(-\frac{1}{2}\). 
 
54. **Problema 54**: Determine a derivada de \(f(x) = \tan(x)\). 
 - a) \(\sec^2(x)\) 
 - b) \(\tan(x) \sec(x)\) 
 - c) \(\sec(x)\) 
 - d) \(\cot(x)\) 
 **Resposta**: a) \(\sec^2(x)\) 
 **Explicação**: A derivada de \(\tan(x)\) é uma derivada básica que resulta em 
\(\sec^2(x)\). 
 
55. **Problema 55**: Calcule a integral \(\int (7x^6 - 5x^3) \, dx\). 
 - a) \(\frac{7}{7}x^7 - \frac{5}{4}x^4 + C\) 
 - b) \(x^7 - \frac{5}{4}x^4 + C\) 
 - c) \(x^7 - \frac{5}{3}x^4 + C\) 
 - d) \(\frac{7}{7}x^7 - 5x^4 + C\) 
 **Resposta**: a) \(\frac{1}{7}x^7 - \frac{5}{4}x^4 + C\) 
 **Explicação**: A integral resulta em \(\frac{7}{7}x^7 - \frac{5}{4}x^4 + C\). 
 
56. **Problema 56**: Qual é o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 5x + 1}{3x^2 + 2}\)? 
 - a) \(\frac{4}{3}\) 
 - b) \(\infty\) 
 - c) 0 
 - d) 1 
 **Resposta**: a) \(\frac{4}{3}\) 
 **Explicação**: Os termos de maior grau dominam, simplificando para 
\(\frac{4x^2}{3x^2} = \frac{4}{3}\). 
 
57. **Problema 57**: Determine a integral \(\int_0^1 (x^5 - x^3 + 1) \, dx\). 
 - a) \(\frac{1}{6}\)