Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x^2}\). a) 0 b) 1 c) 2 d) 4

Para calcular o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x^2}\), podemos usar a identidade trigonométrica que diz que \(1 - \cos(θ) = 2\sin^2\left(\frac{θ}{2}\right)\). Assim, substituindo \(θ\) por \(2x\), temos: \[ 1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x) \] Portanto, o limite se torna: \[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(x)}{x^2} \] Sabemos que \(\frac{\sin(x)}{x} \to 1\) quando \(x \to 0\). Assim, podemos reescrever: \[ \frac{\sin^2(x)}{x^2} = \left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2 \] Portanto, o limite se torna: \[ \lim_{x \to 0} 2\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 \] Assim, a resposta correta é: c) 2.