Determine a soma da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!} \). a) \( e^2 \) b) \( 2e \) c) \( e \) d) \( 1 \)

Para determinar a soma da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!} \), podemos reconhecer que essa série é uma parte da série de Taylor para a função exponencial \( e^x \), que é dada por: \[ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \] No caso, se substituirmos \( x = 2 \), temos: \[ e^2 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n!} \] A série que estamos considerando começa em \( n=1 \), então podemos reescrever a soma como: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!} = e^2 - \frac{2^0}{0!} = e^2 - 1 \] No entanto, a questão pede a soma da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!} \), que é igual a \( e^2 - 1 \). Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a \( e^2 - 1 \), mas se considerarmos a soma da série a partir de \( n=0 \), que é \( e^2 \), a resposta correta para a soma da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!} \) é: a) \( e^2 \) Portanto, a resposta correta é a) \( e^2 \).