Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}\). a) 0 b) 1 c) 2 d) Infinito

Para determinar o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}\), podemos usar a propriedade do limite fundamental que diz que \(\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1\). Neste caso, podemos fazer uma substituição. Se \(u = 2x\), então quando \(x \to 0\), \(u \to 0\) também. Assim, podemos reescrever o limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u/2} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} \cdot 2 \] Sabemos que \(\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1\), então: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 1 \cdot 2 = 2 \] Portanto, a resposta correta é: c) 2.