Calcule a integral \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3(x) \, dx\). a) \(\frac{3}{8}\) b) \(\frac{1}{2}\) c) \(\frac{1}{4}\) d) \(\frac{3}{4}\)

Para calcular a integral \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3(x) \, dx\), podemos usar a identidade de redução ou a fórmula de integração por partes. Uma forma comum de resolver essa integral é usar a identidade: \[ \sin^3(x) = \sin(x)(1 - \cos^2(x)) \] Assim, podemos reescrever a integral: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3(x) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \cos^2(x) \, dx \] A primeira parte, \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx\), é fácil de calcular e resulta em 1. Para a segunda parte, podemos usar a substituição \(u = \cos(x)\), onde \(du = -\sin(x) \, dx\). Assim, os limites de integração mudam de \(0\) a \(1\): \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \cos^2(x) \, dx = -\int_1^0 u^2 \, du = \int_0^1 u^2 \, du = \left[\frac{u^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3} \] Portanto, temos: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3(x) \, dx = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \] No entanto, para encontrar a integral de \(\sin^3(x)\) diretamente, podemos usar a fórmula: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n(x) \, dx = \frac{(n-1)!}{n!} \cdot \frac{\pi}{2} \] Para \(n = 3\): \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3(x) \, dx = \frac{2}{3} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3}{8} \] Portanto, a resposta correta é: a) \(\frac{3}{8}\)