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Calcule a integral \(\int_0^1 (2x^4 - 4x^3 + 2) \, dx\). a) 0 b) \(\frac{1}{5}\) c) \(\frac{2}{5}\) d) \(\frac{1}{3}\)

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Para calcular a integral \(\int_0^1 (2x^4 - 4x^3 + 2) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \(2x^4 - 4x^3 + 2\). 1. A antiderivada de \(2x^4\) é \(\frac{2}{5}x^5\). 2. A antiderivada de \(-4x^3\) é \(-x^4\). 3. A antiderivada de \(2\) é \(2x\). Assim, a antiderivada completa é: \[ F(x) = \frac{2}{5}x^5 - x^4 + 2x \] Agora, vamos avaliar \(F(x)\) nos limites de 0 a 1: \[ F(1) = \frac{2}{5}(1)^5 - (1)^4 + 2(1) = \frac{2}{5} - 1 + 2 = \frac{2}{5} - \frac{5}{5} + \frac{10}{5} = \frac{7}{5} \] \[ F(0) = \frac{2}{5}(0)^5 - (0)^4 + 2(0) = 0 \] Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_0^1 (2x^4 - 4x^3 + 2) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{7}{5} - 0 = \frac{7}{5} \] Nenhuma das alternativas corresponde a \(\frac{7}{5}\). Portanto, parece que houve um erro nas opções fornecidas ou na formulação da questão. Você pode verificar se a função ou os limites estão corretos?

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Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 2}{3x^3 - 4x} \).

A) \( \frac{5}{3} \)
B) 0
C) Infinito
D) 1

Determine a derivada de \(f(x) = x^4 \ln(x)\).

A) \(4x^3 \ln(x) + x^3\)
B) \(4x^3 \ln(x) + 4x^3\)
C) \(4x^3 \ln(x) + 3x^2\)
D) \(x^3\)

Calcule a integral definida \( \int_0^1 (x^2 + 2x) dx \)

A) \frac{2}{3}
B) \frac{5}{3}
C) 1
D) \frac{1}{3}

Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}\).

a) 0
b) 1
c) 2
d) Infinito

Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2 - 4} \, dx\).

a) \(\frac{1}{4} \ln|x - 2| - \frac{1}{4} \ln|x + 2| + C\)
b) \(\frac{1}{2} \ln|x - 2| + C\)
c) \(\frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C\)
d) \(\frac{1}{4} \ln(x^2 - 4) + C\)

Calcule a integral \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3(x) \, dx\).

a) \(\frac{3}{8}\)
b) \(\frac{1}{2}\)
c) \(\frac{1}{4}\)
d) \(\frac{3}{4}\)

Determine a derivada de f(x) = x^2 e^{x^2}.

A) 2xe^{x^2} + 2x^3 e^{x^2}
B) 2xe^{x^2} + x^2 e^{x^2}
C) 2xe^{x^2} + 2x^2 e^{x^2}
D) 2e^{x^2} + 2x^2 e^{x^2}

Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{7x^2 + 5}{2x^2 + 3}\).

a) \(\frac{7}{2}\)
b) 0
c) 1
d) Infinito

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