Para resolver a equação \( \tan(x) = \frac{\tan(30^\circ)}{\tan(60^\circ)} \), precisamos primeiro calcular os valores de \( \tan(30^\circ) \) e \( \tan(60^\circ) \): - \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) - \( \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \) Agora, substituindo esses valores na equação: \[ \tan(x) = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3} \] Agora, precisamos encontrar os valores de \( x \) que satisfazem \( \tan(x) = \frac{1}{3} \) no intervalo \( 0 \leq x < 2\pi \). A função tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Portanto, as soluções são: 1. \( x_1 = \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \) (primeiro quadrante) 2. \( x_2 = \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) + \pi \) (terceiro quadrante) Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( \frac{\pi}{3} \) b) \( \frac{2\pi}{3} \) c) \( \frac{4\pi}{3} \) d) \( \frac{5\pi}{3} \) e) a) e c) Como \( \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \) não é igual a \( \frac{\pi}{3} \) e a segunda solução \( \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) + \pi \) se aproxima de \( \frac{4\pi}{3} \), a alternativa correta é: c) \( \frac{4\pi}{3} \)