Calcule $ \int e^{2x} \cos(3x) \, dx $.A) $ \frac{e^{2x}}{13} (2\cos(3x) + 3\sin(3x)) + C $B) $ \frac{e^{2x}}{13} (2\sin(3x) - 3\cos(3x)) + C $C) $ e^{2x} \sin(3x) + C $D) $ e^{2x} \cos(3x) + C $

Question

Calcule $ \int e^{2x} \cos(3x) \, dx $.

A) $ \frac{e^{2x}}{13} (2\cos(3x) + 3\sin(3x)) + C $
B) \( \frac{e^{2x}}{13} (2\sin(3x) - 3\cos(3x)) +...

Ed · Answer

Para calcular a integral $ \int e^{2x} \cos(3x) \, dx $, podemos usar o método de integração por partes ou a técnica de integração de funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas.

Vamos aplicar a fórmula de integração por partes duas vezes, ou podemos usar a fórmula padrão para integrais desse tipo. O resultado da integral é:

$$
\int e^{ax} \cos(bx) \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos(bx) + b \sin(bx)) + C
$$

Neste caso, $ a = 2 $ e $ b = 3 $. Portanto, substituindo na fórmula:

$$
\int e^{2x} \cos(3x) \, dx = \frac{e^{2x}}{2^2 + 3^2} (2 \cos(3x) + 3 \sin(3x)) + C
$$

Calculando $ 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 $, temos:

$$
\int e^{2x} \cos(3x) \, dx = \frac{e^{2x}}{13} (2 \cos(3x) + 3 \sin(3x)) + C
$$

Assim, a alternativa correta é:

A) $ \frac{e^{2x}}{13} (2\cos(3x) + 3\sin(3x)) + C $

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Qual é o valor do limite \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}?

A) 0
B) 1
C) 2
D) \infty

Calcule \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 2x^2}{5x^3 - 4} \).

A) 0
B) \( \frac{3}{5} \)
C) \( \frac{5}{3} \)
D) \( \infty \)

Se \(f(x) = e^{x^2}\), qual é a derivada de \(f(x)\)?

a) 2xe^{x^2}
b) e^{x^2}
c) 2xe^{x}
d) 2xe^{2x}

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Qual é o valor do limite \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}?A) 0B) 1C) 2D) \infty

Calcule \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 2x^2}{5x^3 - 4} \).A) 0B) \( \frac{3}{5} \)C) \( \frac{5}{3} \)D) \( \infty \)

Se \(f(x) = e^{x^2}\), qual é a derivada de \(f(x)\)?a) 2xe^{x^2}b) e^{x^2}c) 2xe^{x}d) 2xe^{2x}

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A) 0
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A) 0
B) \( \frac{3}{5} \)
C) \( \frac{5}{3} \)
D) \( \infty \)

Se \(f(x) = e^{x^2}\), qual é a derivada de \(f(x)\)?

a) 2xe^{x^2}
b) e^{x^2}
c) 2xe^{x}
d) 2xe^{2x}