Para encontrar a derivada da função \( f(x) = e^{-x} \sin(x) \), precisamos usar a regra do produto, que afirma que se temos duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \), a derivada do produto \( u(x)v(x) \) é dada por: \[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \] Neste caso, temos: - \( u(x) = e^{-x} \) e \( v(x) = \sin(x) \) Calculando as derivadas: - \( u'(x) = -e^{-x} \) - \( v'(x) = \cos(x) \) Agora, aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = (-e^{-x}) \sin(x) + e^{-x} \cos(x) \] Isso pode ser reescrito como: \[ f'(x) = e^{-x} (\cos(x) - \sin(x)) \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( f'(x) = e^{-x} (-\sin(x) + \cos(x)) \) - Esta é a forma correta, pois \( \cos(x) - \sin(x) \) é equivalente a \( -\sin(x) + \cos(x) \). B) \( f'(x) = e^{-x} (\sin(x) + \cos(x)) \) - Incorreta. C) \( f'(x) = -e^{-x} \sin(x) \) - Incorreta. D) \( f'(x) = e^{-x} (-\sin(x) - \cos(x)) \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: A) \( f'(x) = e^{-x} (-\sin(x) + \cos(x)) \).