Qual é o integral de linha no ponto \( (0,0) \) em \( (1,1) \) para \( \int_C (2x+3y) dx + (4x - 2y) dy \)? A) 5 B) 6 C) 3 D) 2

Para calcular a integral de linha \( \int_C (2x+3y) dx + (4x - 2y) dy \) de \( (0,0) \) a \( (1,1) \), precisamos escolher um caminho \( C \) entre esses dois pontos. Uma escolha comum é seguir uma linha reta. Vamos parametrizar a linha reta de \( (0,0) \) a \( (1,1) \): - \( x = t \) - \( y = t \) - onde \( t \) varia de \( 0 \) a \( 1 \). Agora, calculamos \( dx \) e \( dy \): - \( dx = dt \) - \( dy = dt \) Substituindo na integral, temos: \[ \int_C (2x + 3y) dx + (4x - 2y) dy = \int_0^1 \left( (2t + 3t) dt + (4t - 2t) dt \right) \] \[ = \int_0^1 (5t dt + 2t dt) = \int_0^1 7t dt \] Agora, calculamos a integral: \[ \int_0^1 7t dt = 7 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^1 = 7 \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 \] Como 3.5 não está entre as opções, vamos verificar se a integral foi calculada corretamente ou se há um erro nas opções. No entanto, se considerarmos a integral de linha em um caminho diferente ou se houver um erro nas opções, a resposta correta não está listada. Se você precisar de um valor exato entre as opções dadas, a resposta mais próxima seria a opção C) 3, mas isso não é o resultado exato da integral. Portanto, a resposta correta, considerando as opções, é: C) 3.