Calcule \(\int_0^1 \sqrt{x(1 - x)} \, dx\). a) \(\frac{\pi}{8}\) b) \(\frac{\pi}{4}\) c) \(\frac{\pi}{6}\) d) \(\frac{\pi}{2}\)

Para calcular a integral \(\int_0^1 \sqrt{x(1 - x)} \, dx\), podemos usar a substituição trigonométrica. Uma abordagem comum é usar a substituição \(x = \sin^2(\theta)\), o que implica que \(dx = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \, d\theta\). Com essa substituição, os limites de integração mudam: - Quando \(x = 0\), \(\theta = 0\). - Quando \(x = 1\), \(\theta = \frac{\pi}{2}\). A integral se torna: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin^2(\theta)(1 - \sin^2(\theta))} \cdot 2\sin(\theta)\cos(\theta) \, d\theta \] Isso simplifica para: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(\theta)\cos(\theta) \, d\theta \] Agora, podemos usar a identidade \(\sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}\): \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(\theta)\cos(\theta) \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \cos(\theta) \, d\theta \] Essa integral pode ser resolvida, e o resultado final é: \[ \int_0^1 \sqrt{x(1 - x)} \, dx = \frac{\pi}{8} \] Portanto, a alternativa correta é: a) \(\frac{\pi}{8}\).