Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}\). a) 0 b) 1 c) 2 d) \(\infty\)

Para determinar o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}\), vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando \(x\) tende ao infinito. 1. Numerador: \(\ln(x^2 + 1)\) se comporta como \(\ln(x^2)\) quando \(x\) é muito grande, pois o \(+1\) se torna insignificante. Assim, temos: \[ \ln(x^2 + 1) \sim \ln(x^2) = 2\ln(x) \] 2. Denominador: O denominador é simplesmente \(x\). Agora, podemos reescrever o limite: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x} \sim \lim_{x \to \infty} \frac{2\ln(x)}{x} \] 3. Aplicando a regra de L'Hôpital: Como tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito, podemos aplicar a regra de L'Hôpital: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2\ln(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot \frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} = 0 \] Portanto, o limite é: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x} = 0 \] A alternativa correta é: a) 0.