Para determinar a série de Taylor da função \( f(x) = \sin(x) \) em torno de \( x = 0 \), precisamos lembrar que a série de Taylor é dada pela soma dos termos da forma: \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n \] A função seno tem a seguinte derivada em \( x = 0 \): - \( f(0) = \sin(0) = 0 \) - \( f'(x) = \cos(x) \) e \( f'(0) = \cos(0) = 1 \) - \( f''(x) = -\sin(x) \) e \( f''(0) = -\sin(0) = 0 \) - \( f'''(x) = -\cos(x) \) e \( f'''(0) = -\cos(0) = -1 \) - \( f^{(4)}(x) = \sin(x) \) e \( f^{(4)}(0) = \sin(0) = 0 \) - \( f^{(5)}(x) = \cos(x) \) e \( f^{(5)}(0) = \cos(0) = 1 \) Assim, a série de Taylor para \( \sin(x) \) em torno de \( x = 0 \) é: \[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots \] Isso pode ser reescrito como: \[ \sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \] Portanto, a alternativa correta que representa a série de Taylor de \( f(x) = \sin(x) \) em 0 é: b) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \)