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c) \(\ln|x| + C\) 
d) \(\sin^{-1}(x) + C\) 
**Resposta:** a) \(\arctan(x) + C\) 
**Explicação:** Esta integral é uma forma padrão. Sabemos que a integral de 
\(\frac{1}{x^2 + 1}\) é a função inversa tangente, resultando em \(\arctan(x) + C\). 
 
28. **Questão 28:** O que o teorema do valor intermediário afirma sobre uma função 
contínua \(f\) em um intervalo \([a, b]\)? 
a) A função possui um máximo e um mínimo em \([a, b]\). 
b) A função atinge todos os valores entre \(f(a)\) e \(f(b)\). 
c) A função tem derivada em todos os pontos de \([a, b]\). 
d) A função é crescente em \([a, b]\). 
**Resposta:** b) A função atinge todos os valores entre \(f(a)\) e \(f(b)\). 
**Explicação:** O teorema do valor intermediário garantirá que, se \(f\) é contínua em um 
intervalo e \(N\) está entre \(f(a)\) e \(f(b)\), então existe pelo menos um \(c\) em \([a, b]\) 
tal que \(f(c) = N\). 
 
29. **Questão 29:** Determine a série de Taylor de \(f(x) = e^x\) em torno de \(x = 0\). 
a) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\) 
b) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}\) 
c) \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\) 
d) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2n!}\) 
**Resposta:** a) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\) 
**Explicação:** A série de Taylor para \(e^x\) em torno de \(x=0\) é bem conhecida e 
resulta na soma dos termos, onde a derivada de \(e^x\) em qualquer ponto é \(e^x\). 
 
30. **Questão 30:** Qual é a equação da reta orthogonal à curva \(f(x) = x^2\) no ponto 
\(x=2\)? 
a) \(y = -\frac{1}{2}(x-2) + 4\) 
b) \(y = -2(x-2) + 4\) 
c) \(y = 2(x-2) + 4\) 
d) \(y = \frac{1}{2}(x-2) + 4\) 
**Resposta:** b) \(y = -2(x-2) + 4\) 
**Explicação:** A derivada \(f'(x) = 2x\) leva a \(f'(2) = 4\). A reta tangente tem uma 
inclinação de 4, logo, a reta orthogonal terá inclinação \(-\frac{1}{4}\). A partir do ponto 
\(P(2,4)\) usando a equação \(y - y_1 = m(x - x_1)\) obtemos a equação. 
 
31. **Questão 31:** Determine o valor de: 
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \]. 
a) 1 
b) 0 
c) -1 
d) Não existe 
**Resposta:** a) 1 
**Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador: 
\(\frac{1}{1+x}\) e \(1\), respectivamente, e no limite encontramos 1. 
 
32. **Questão 32:** Qual é a derivada da função \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\)? 
a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
b) \(\frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}}\) 
c) \(\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
d) \(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
**Resposta:** a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
**Explicação:** Aplicando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}}(2x) = 
\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\). 
 
33. **Questão 33:** A integral de \(f(x) = \cos(5x)\) é: 
a) \(\frac{1}{5} \sin(5x) + C\) 
b) \(\frac{1}{5} \cos(5x) + C\) 
c) \(\sin(5x) + C\) 
d) \(\frac{1}{10} \sin(5x) + C\) 
**Resposta:** a) \(\frac{1}{5} \sin(5x) + C\) 
**Explicação:** Integrando \(f(x) = \cos(kx)\) resulta em \(\frac{1}{k} \sin(kx) + C\). Para 
\(k=5\), temos \(\frac{1}{5} \sin(5x) + C\). 
 
34. **Questão 34:** Calcule o determinante da matriz 
\[ B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \]. 
a) 6 
b) 0 
c) 2 
d) 1 
**Resposta:** a) 6 
**Explicação:** O determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da 
diagonal. Portanto, o determinante é \(1 \cdot 2 \cdot 3 = 6\). 
 
35. **Questão 35:** Encontre a média dos valores de \(f(x) = x^3 - 3x\) no intervalo \([0, 
2]\). 
a) 0 
b) \(\frac{4}{3}\) 
c) \(1\) 
d) \(\frac{8}{3}\) 
**Resposta:** b) \(\frac{4}{3}\) 
**Explicação:** A média é dada por \(\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx\). Portanto, 
calculamos \(\int_0^2 (x^3 - 3x) \, dx\), resultando na média. 
 
36. **Questão 36:** O que afirma a regra de L'Hôpital? 
a) Aplicamos para funções contínuas 
b) Melhora limites infinitos 
c) Derivada de uma função é sempre positiva 
d) Nada se aplica em limites globais 
**Resposta:** b) Melhora limites infinitos 
**Explicação:** A regra de L'Hôpital é útil quando obtemos a indeterminação 
\(\frac{0}{0}\) ou \(\frac{\infty}{\infty}\), permitindo derivar o numerador e denominador até 
obter um limite que não seja indeterminado. 
 
37. **Questão 37:** Determine a série de Taylor de \(f(x) = \sin(x)\) em \(0\). 
a) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}\) 
b) \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\) 
c) \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\)