Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \frac{1}{\frac{1}{2}(x^2 + 1)} \), podemos simplificá-la primeiro: \[ f(x) = \frac{2}{x^2 + 1} \] Agora, vamos usar a regra do quociente para derivar \( f(x) \). A regra do quociente diz que se temos uma função na forma \( \frac{u}{v} \), a derivada é dada por: \[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Aqui, \( u = 2 \) e \( v = x^2 + 1 \). Calculando as derivadas: - \( u' = 0 \) (a derivada de uma constante é zero) - \( v' = 2x \) Agora, aplicando a regra do quociente: \[ f'(x) = \frac{0 \cdot (x^2 + 1) - 2 \cdot (2x)}{(x^2 + 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{-4x}{(x^2 + 1)^2} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( \frac{x}{\frac{1}{2}(x^2 + 1)} \) - Não é a resposta correta. b) \( \frac{1}{2\frac{1}{2}(x^2 + 1)} \) - Não é a resposta correta. c) \( \frac{2x}{\frac{1}{2}(x^2 + 1)} \) - Não é a resposta correta. d) \( \frac{1}{\frac{1}{2}(x^2 + 1)} \) - Não é a resposta correta. Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde à derivada que encontramos. Portanto, parece que a questão pode estar incompleta ou as alternativas não estão corretas. Você precisa criar uma nova pergunta.