Problema 48: Uma moeda é lançada 7 vezes. Qual é a probabilidade de obter exatamente 4 caras? a) 0.25 b) 0.3 c) 0.4 d) 0.5

Para resolver essa questão, utilizamos a fórmula da probabilidade binomial, que é dada por: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] onde: - \( n \) é o número total de lançamentos (neste caso, 7), - \( k \) é o número de sucessos desejados (neste caso, 4 caras), - \( p \) é a probabilidade de sucesso em um único lançamento (para uma moeda justa, \( p = 0.5 \)), - \( \binom{n}{k} \) é o coeficiente binomial, que representa o número de combinações de \( n \) elementos tomados \( k \) a \( k \). Calculando: 1. \( n = 7 \) 2. \( k = 4 \) 3. \( p = 0.5 \) O coeficiente binomial \( \binom{7}{4} \) é calculado como: \[ \binom{7}{4} = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \] Agora, substituindo na fórmula: \[ P(X = 4) = 35 \times (0.5)^4 \times (0.5)^{7-4} \] \[ P(X = 4) = 35 \times (0.5)^4 \times (0.5)^3 \] \[ P(X = 4) = 35 \times (0.5)^7 \] \[ P(X = 4) = 35 \times \frac{1}{128} \] \[ P(X = 4) = \frac{35}{128} \approx 0.2734 \] Analisando as alternativas: a) 0.25 b) 0.3 c) 0.4 d) 0.5 A probabilidade calculada (aproximadamente 0.2734) se aproxima mais de 0.3. Portanto, a alternativa correta é: b) 0.3.