Qual é o valor de \(\cos(3\theta)\) se \(\sin(\theta) = \frac{1}{2}\)? a) \(\frac{1}{8}\) b) \(\frac{3}{4}\) c) \(\frac{1}{2}\) d) \(\frac{7}{8}\)

Para encontrar o valor de \(\cos(3\theta)\) dado que \(\sin(\theta) = \frac{1}{2}\), primeiro precisamos determinar o valor de \(\theta\). Sabemos que \(\sin(\theta) = \frac{1}{2}\) quando \(\theta = 30^\circ\) ou \(\theta = 150^\circ\) (ou em radianos, \(\theta = \frac{\pi}{6}\) ou \(\theta = \frac{5\pi}{6}\)). Agora, vamos usar a fórmula do cosseno triplo: \[ \cos(3\theta) = 4\cos^3(\theta) - 3\cos(\theta) \] Primeiro, precisamos encontrar \(\cos(\theta)\). Sabemos que: \[ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \] Substituindo \(\sin(\theta) = \frac{1}{2}\): \[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2(\theta) = 1 \] \[ \frac{1}{4} + \cos^2(\theta) = 1 \] \[ \cos^2(\theta) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \] Portanto, \(\cos(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) ou \(\cos(\theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Como \(\theta = 30^\circ\) está no primeiro quadrante, usamos \(\cos(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Agora, substituímos na fórmula do cosseno triplo: \[ \cos(3\theta) = 4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 - 3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \] Calculando: \[ = 4 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8} - 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2} = 0 \] Agora, se considerarmos \(\theta = 150^\circ\), teremos: \[ \cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Substituindo na fórmula do cosseno triplo: \[ \cos(3\theta) = 4\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 - 3\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \] \[ = 4 \cdot -\frac{3\sqrt{3}}{8} + \frac{3\sqrt{3}}{2} \] \[ = -\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2} = 0 \] Parece que houve um erro na interpretação. Vamos calcular diretamente \(\cos(3\theta)\) para \(\theta = 30^\circ\): \[ \cos(90^\circ) = 0 \] Portanto, a resposta correta não está entre as opções dadas. Você pode verificar se a pergunta está correta ou se há um erro nas opções.