Se \(\sin(x) = \frac{1}{3}\), qual é o valor de \(\cos(2x)\)? a) \(\frac{8}{9}\) b) \(\frac{7}{9}\) c) \(\frac{1}{9}\) d) \(\frac{2}{3}\)

Para encontrar o valor de \(\cos(2x)\) dado que \(\sin(x) = \frac{1}{3}\), podemos usar a identidade: \[ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \] Primeiro, calculamos \(\sin^2(x)\): \[ \sin^2(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} \] Agora, substituímos na fórmula de \(\cos(2x)\): \[ \cos(2x) = 1 - 2\left(\frac{1}{9}\right) = 1 - \frac{2}{9} = \frac{9}{9} - \frac{2}{9} = \frac{7}{9} \] Portanto, o valor de \(\cos(2x)\) é \(\frac{7}{9}\). A alternativa correta é: b) \(\frac{7}{9}\).