Qual é o valor de \(\sin(2x)\) se \(\cos(x) = \frac{4}{5}\)? a) \(\frac{24}{25}\) b) \(\frac{16}{25}\) c) \(\frac{3}{5}\) d) \(\frac{12}{25}\)

Para encontrar o valor de \(\sin(2x)\) dado que \(\cos(x) = \frac{4}{5}\), podemos usar a fórmula do ângulo duplo: \[ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \] Primeiro, precisamos encontrar \(\sin(x)\). Sabemos que: \[ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \] Substituindo \(\cos(x)\): \[ \sin^2(x) + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2(x) + \frac{16}{25} = 1 \] \[ \sin^2(x) = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \] Portanto, \(\sin(x) = \frac{3}{5}\) (considerando o valor positivo, já que não foi especificado o quadrante). Agora, substituímos \(\sin(x)\) e \(\cos(x)\) na fórmula de \(\sin(2x)\): \[ \sin(2x) = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = 2 \cdot \frac{12}{25} = \frac{24}{25} \] Assim, o valor de \(\sin(2x)\) é \(\frac{24}{25}\). Portanto, a alternativa correta é: a) \(\frac{24}{25}\).