Qual é a derivada de f(x) = an(x)? a) an^2(x) + 1 b) rac{1}{ an^2(x)} c) rac{1}{ an(x)} d) rac{1}{ an^2(x) + 1}

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \tan(x) \), utilizamos a regra de derivação da tangente. A derivada de \( \tan(x) \) é dada por: \[ f'(x) = \sec^2(x) \] Sabemos que \( \sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \) e que \( \tan^2(x) + 1 = \sec^2(x) \). Portanto, podemos reescrever a derivada como: \[ f'(x) = \tan^2(x) + 1 \] Agora, analisando as alternativas: a) \( \tan^2(x) + 1 \) - Correto, pois é a derivada de \( \tan(x) \). b) \( \frac{1}{\tan^2(x)} \) - Incorreto. c) \( \frac{1}{\tan(x)} \) - Incorreto. d) \( \frac{1}{\tan^2(x) + 1} \) - Incorreto. Portanto, a alternativa correta é: a) \( \tan^2(x) + 1 \).