Qual é a derivada de f(x) = rac{2x}{x^2 + 1}? a) rac{2}{x^2 + 1} b) rac{2x^2 - 2}{(x^2 + 1)^2} c) rac{2x}{x^2 + 1} d) -rac{2x}{(x^2 + 1)^2}

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \), podemos usar a regra do quociente, que é dada por: \[ f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2} \] onde \( g(x) = 2x \) e \( h(x) = x^2 + 1 \). Calculando as derivadas: - \( g'(x) = 2 \) - \( h'(x) = 2x \) Agora, aplicando a regra do quociente: \[ f'(x) = \frac{(2)(x^2 + 1) - (2x)(2x)}{(x^2 + 1)^2} \] Simplificando: \[ f'(x) = \frac{2(x^2 + 1) - 4x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) - Incorreta. b) \( \frac{2x^2 - 2}{(x^2 + 1)^2} \) - Esta é equivalente a \( \frac{2(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2} \), que é correta. c) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) - Incorreta. d) \( -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: b) \( \frac{2x^2 - 2}{(x^2 + 1)^2} \).