Problema 67: Determine a solução da equação y' + 7y = 0. a) y = Ce^{-7x} b) y = Ce^{7x} c) y = Ce^{-x} d) y = C ext{ln}(x)

Para resolver a equação diferencial \( y' + 7y = 0 \), podemos usar o método de separação de variáveis ou reconhecer que é uma equação linear de primeira ordem. 1. Reescrevendo a equação, temos: \[ y' = -7y \] 2. Separando as variáveis, obtemos: \[ \frac{dy}{y} = -7dx \] 3. Integrando ambos os lados: \[ \int \frac{dy}{y} = \int -7dx \] \[ \ln|y| = -7x + C \] 4. Exponenciando ambos os lados para resolver para \( y \): \[ |y| = e^{-7x + C} = e^C e^{-7x} \] Podemos substituir \( e^C \) por uma constante \( C \) (já que \( e^C \) é uma constante). 5. Portanto, a solução geral é: \[ y = Ce^{-7x} \] Assim, a alternativa correta é: a) \( y = Ce^{-7x} \)