Problema 70: Calcule a integral \int_0^1 (2x^4 - x^3 + x^2) \, dx. a) \frac{1}{5} b) \frac{1}{6} c) \frac{1}{12} d) \frac{1}{30}

Para calcular a integral \(\int_0^1 (2x^4 - x^3 + x^2) \, dx\), vamos integrar cada termo separadamente. 1. A integral de \(2x^4\) é \(\frac{2}{5}x^5\). 2. A integral de \(-x^3\) é \(-\frac{1}{4}x^4\). 3. A integral de \(x^2\) é \(\frac{1}{3}x^3\). Agora, somamos as integrais: \[ \int (2x^4 - x^3 + x^2) \, dx = \frac{2}{5}x^5 - \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 + C \] Agora, avaliamos de 0 a 1: \[ \left[\frac{2}{5}(1)^5 - \frac{1}{4}(1)^4 + \frac{1}{3}(1)^3\right] - \left[\frac{2}{5}(0)^5 - \frac{1}{4}(0)^4 + \frac{1}{3}(0)^3\right] \] Isso simplifica para: \[ \frac{2}{5} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \] Agora, precisamos encontrar um denominador comum para somar essas frações. O mínimo múltiplo comum de 5, 4 e 3 é 60. Convertendo cada fração: \[ \frac{2}{5} = \frac{24}{60}, \quad -\frac{1}{4} = -\frac{15}{60}, \quad \frac{1}{3} = \frac{20}{60} \] Agora somamos: \[ \frac{24}{60} - \frac{15}{60} + \frac{20}{60} = \frac{24 - 15 + 20}{60} = \frac{29}{60} \] Nenhuma das alternativas corresponde a \(\frac{29}{60}\). Parece que houve um erro nas opções fornecidas ou na interpretação da integral. Por favor, verifique as opções novamente ou a integral.