Problema 68: Calcule o limite lim_{x o 0} \frac{\sin(5x)}{x}. a) 0 b) 1 c) 5 d) Não existe

Para calcular o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x}\), podemos usar a propriedade do limite fundamental que diz que \(\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1\). Neste caso, podemos fazer uma substituição. Se \(u = 5x\), então quando \(x \to 0\), \(u \to 0\) também. Assim, podemos reescrever o limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} \cdot 5 = 5 \cdot \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 5 \cdot 1 = 5. \] Portanto, a resposta correta é: c) 5.