Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x}\). a) 5

Para determinar o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x}\), podemos usar a propriedade do limite fundamental que diz que \(\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1\). Neste caso, vamos fazer uma substituição. Se \(u = 5x\), então quando \(x \to 0\), \(u \to 0\) também. Assim, podemos reescrever o limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} \cdot \frac{5u}{5x} = 5 \cdot \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} \] Portanto, temos: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} = 5 \cdot 1 = 5 \] A resposta correta é 5.