11IO somando a vida

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68. **Problema 68:** Calcule a integral \(\int (5\sin(x) + 3\cos(x)) \,dx\). 
 a) \(-5\cos(x) + 3\sin(x) + C\) 
 b) \(5\sin(x) + 3\cos(x) + C\) 
 c) \(-5\sin(x) + 3\cos(x) + C\) 
 d) \(5\cos(x) - 3\sin(x) + C\) 
 **Resposta:** a) \(-5\cos(x) + 3\sin(x) + C\) 
 **Explicação:** A integral é \(-5\cos(x) + 3\sin(x) + C\). 
 
69. **Problema 69:** Determine a integral \(\int (4x^2 - 2x + 1) \,dx\). 
 a) \(\frac{4}{3}x^3 - x^2 + x + C\) 
 b) \(\frac{4}{3}x^3 - \frac{2}{2}x^2 + x + C\) 
 c) \(\frac{4}{3}x^3 - x^2 + \frac{1}{2}x + C\) 
 d) \(\frac{4}{3}x^3 - x^2 + \frac{2}{2}x + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{4}{3}x^3 - x^2 + x + C\) 
 **Explicação:** A integral é calculada como \(\frac{4}{3}x^3 - x^2 + x + C\). 
 
70. **Problema 70:** Calcule a derivada de \(f(x) = \ln(x^3 + 1)\). 
 a) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\) 
 b) \(\frac{1}{x^3 + 1}\) 
 c) \(\frac{3}{x^3 + 1}\) 
 d) \(\frac{1}{x^2}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = \frac{1}{x^3 + 1} \cdot 3x^2 = 
\frac{3x^2}{x^3 + 1}\). 
 
71. **Problema 71:** Calcule a integral \(\int (2x^3 - 3x^2 + 4) \,dx\). 
 a) \(\frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4x + C\) 
 b) \(\frac{1}{2}x^4 - x^3 + 2x + C\) 
 c) \(\frac{1}{2}x^4 - \frac{3}{3}x^3 + 4x + C\) 
 d) \(\frac{1}{2}x^4 - 3x^2 + 4x + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4x + C\) 
 **Explicação:** A integral é calculada como \(\frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4x + C\). 
 
72. **Problema 72:** Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}\). 
 a) 3 
 b) 1 
 c) 0 
 d) 10 
 **Resposta:** a) 3 
 **Explicação:** Usando a regra do limite, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3\). 
 
73. **Problema 73:** Calcule a integral \(\int (5x^4 - 3x^2 + 2) \,dx\). 
 a) \(\frac{5}{5}x^5 - x^3 + 2x + C\) 
 b) \(\frac{5}{5}x^5 - \frac{3}{3}x^3 + 2x + C\) 
 c) \(x^5 - x^3 + 2x + C\) 
 d) \(x^5 - \frac{3}{3}x^3 + 2x + C\) 
 **Resposta:** c) \(x^5 - x^3 + 2x + C\) 
 **Explicação:** A integral é calculada como \(x^5 - x^3 + 2x + C\). 
 
74. **Problema 74:** Calcule a derivada de \(f(x) = \sqrt{x^3 + 1}\). 
 a) \(\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}}\) 
 b) \(\frac{1}{2\sqrt{x^3 + 1}}\) 
 c) \(\frac{3}{2\sqrt{x^3 + 1}}\) 
 d) \(\frac{1}{x^2}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}}\) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \cdot 
3x^2 = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}}\). 
 
75. **Problema 75:** Calcule a integral \(\int (6x^5 - 4x^3 + 2x) \,dx\). 
 a) \(\frac{6}{6}x^6 - \frac{4}{4}x^4 + x^2 + C\) 
 b) \(\frac{6}{6}x^6 - \frac{4}{4}x^4 + 2x + C\) 
 c) \(x^6 - x^4 + x^2 + C\) 
 d) \(x^6 - x^4 + 2x + C\) 
 **Resposta:** c) \(x^6 - x^4 + x^2 + C\) 
 **Explicação:** A integral é calculada como \(x^6 - x^4 + x^2 + C\). 
 
76. **Problema 76:** Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** Usando a definição da derivada de \(e^{2x}\) em \(x = 0\), temos que o 
limite é 2. 
 
77. **Problema 77:** Calcule a integral \(\int (7x^3 - 2x^2 + 5) \,dx\). 
 a) \(\frac{7}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 5x + C\) 
 b) \(\frac{7}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 2.5x + C\) 
 c) \(\frac{7}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 5x + C\) 
 d) \(\frac{7}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 2x + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{7}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 5x + C\) 
 **Explicação:** A integral é calculada como \(\frac{7}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 5x + C\). 
 
78. **Problema 78:** Calcule a derivada de \(f(x) = \ln(x^4 + 1)\). 
 a) \(\frac{4x^3}{x^4 + 1}\) 
 b) \(\frac{1}{x^4 + 1}\) 
 c) \(\frac{4}{x^4 + 1}\) 
 d) \(\frac{1}{4x^3}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{4x^3}{x^4 + 1}\) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = \frac{1}{x^4 + 1} \cdot 4x^3 = 
\frac{4x^3}{x^4 + 1}\). 
 
79. **Problema 79:** Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x}\). 
 a) 5