Qual é o resultado do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x) - 1}{x^2} \)?

Para resolver o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x) - 1}{x^2} \), podemos usar a série de Taylor para \(\cos(2x)\) em torno de \(x = 0\): \[ \cos(2x) = 1 - \frac{(2x)^2}{2} + O(x^4) = 1 - 2x^2 + O(x^4) \] Substituindo na expressão do limite, temos: \[ \cos(2x) - 1 = -2x^2 + O(x^4) \] Assim, a expressão do limite se torna: \[ \lim_{x \to 0} \frac{-2x^2 + O(x^4)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left(-2 + \frac{O(x^4)}{x^2}\right) \] Como \(O(x^4)/x^2\) tende a 0 quando \(x\) tende a 0, o limite se simplifica para: \[ -2 + 0 = -2 \] Portanto, o resultado do limite é: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x) - 1}{x^2} = -2 \]