Grátis: Encontre a integral \( \int x^2 e^{x^3} \, dx \). A) \( \frac{1}{3} e^{x^3} + C \) B) \( e^{x^3} + C \) C) \( \frac{1}{2} e^{x^3} + C \) D) \( \fr...

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Encontre a integral \( \int x^2 e^{x^3} \, dx \).

A) \( \frac{1}{3} e^{x^3} + C \)
B) \( e^{x^3} + C \)
C) \( \frac{1}{2} e^{x^3} + C \)
D) \( \frac{1}{4} e^{x^3} + C \)

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Para resolver a integral \( \int x^2 e^{x^3} \, dx \), podemos usar a técnica de substituição. Vamos fazer a substituição \( u = x^3 \). Assim, temos: 1. Derivando \( u \), obtemos \( du = 3x^2 \, dx \) ou \( dx = \frac{du}{3x^2} \). 2. Substituindo na integral, temos: \[ \int x^2 e^{x^3} \, dx = \int x^2 e^u \cdot \frac{du}{3x^2} = \frac{1}{3} \int e^u \, du. \] 3. A integral de \( e^u \) é \( e^u + C \), então: \[ \frac{1}{3} \int e^u \, du = \frac{1}{3} e^u + C. \] 4. Substituindo \( u \) de volta, temos: \[ \frac{1}{3} e^{x^3} + C. \] Portanto, a resposta correta é a) \( \frac{1}{3} e^{x^3} + C \).

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Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}\).

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d) Não existe

Encontre a derivada da função g(x) = sin(x^2).

A) 2x cos(x^2)
B) -2x sin(x^2)
C) cos(x^2)
D) 2sin(x)

Calcule a integral indefinida \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx.

A) \tan^{-1}(x) + C
B) \sin^{-1}(x) + C
C) \frac{1}{x} + C
D) \ln|x| + C

Determine o valor de \( \int_0^{\pi/2} \sin^3(x) \, dx \).

A) \( \frac{3}{8} \)
B) \( \frac{1}{4} \)
C) \( \frac{1}{2} \)
D) \( \frac{3}{16} \)

Calcule o limite: \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{5x^2 + 4}\).

A) \(\frac{3}{5}\)
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Calcule a integral \( \int_0^1 (2x - x^2) \, dx \).

A) \( \frac{1}{3} \)
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54. Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x+1)}{x} \).

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b) 1
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d) Não existe

Encontre a integral \( \int e^{-x^2} \, dx \) entre os limites \( -\infty \) e \( \infty \).

A) \( \sqrt{\pi} \)
B) 0
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