Qual é o valor de z = rac{(1 + i)^4}{(1 - i)^4}? A) 1 B) -1 C) 2 D) i

Para resolver a expressão \( z = \frac{(1 + i)^4}{(1 - i)^4} \), vamos calcular cada parte. Primeiro, vamos calcular \( (1 + i)^4 \) e \( (1 - i)^4 \). 1. Cálculo de \( (1 + i)^4 \): - Usando a fórmula de binômio ou a forma polar, podemos calcular: - \( 1 + i \) pode ser escrito em forma polar como \( \sqrt{2} \text{cis} \left( \frac{\pi}{4} \right) \). - Elevando à quarta potência: \[ (1 + i)^4 = (\sqrt{2})^4 \text{cis} \left( 4 \cdot \frac{\pi}{4} \right) = 4 \text{cis}(\pi) = 4(-1) = -4. \] 2. Cálculo de \( (1 - i)^4 \): - Similarmente, \( 1 - i \) pode ser escrito como \( \sqrt{2} \text{cis} \left( -\frac{\pi}{4} \right) \). - Elevando à quarta potência: \[ (1 - i)^4 = (\sqrt{2})^4 \text{cis} \left( 4 \cdot -\frac{\pi}{4} \right) = 4 \text{cis}(-\pi) = 4(-1) = -4. \] Agora, substituindo na expressão de \( z \): \[ z = \frac{(1 + i)^4}{(1 - i)^4} = \frac{-4}{-4} = 1. \] Portanto, a resposta correta é: A) 1.