Qual é o valor de ∫_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) dx? a) 0 b) 1/5 c) 1/3 d) 1/6

Para resolver a integral \(\int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx\), vamos calcular passo a passo. 1. Calcular a integral: \[ \int (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx = \frac{x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + x + C \] 2. Avaliar a integral definida de 0 a 1: \[ \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + x \right]_0^1 \] Substituindo \(x = 1\): \[ \frac{1^5}{5} - \frac{2 \cdot 1^3}{3} + 1 = \frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1 \] Para somar, precisamos de um denominador comum, que é 15: \[ \frac{1}{5} = \frac{3}{15}, \quad -\frac{2}{3} = -\frac{10}{15}, \quad 1 = \frac{15}{15} \] Agora, somando: \[ \frac{3}{15} - \frac{10}{15} + \frac{15}{15} = \frac{3 - 10 + 15}{15} = \frac{8}{15} \] 3. Substituindo \(x = 0\): \[ \left[ \frac{0^5}{5} - \frac{2 \cdot 0^3}{3} + 0 \right] = 0 \] 4. Resultado final: \[ \int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx = \frac{8}{15} - 0 = \frac{8}{15} \] Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao resultado \(\frac{8}{15}\). Portanto, parece que houve um erro nas opções fornecidas. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se a integral foi formulada corretamente.