Problema 49: Calcule a integral \int_0^1 (1 + x^2)^{-1} \, dx. a) \frac{\pi}{4} b) \frac{1}{2} c) \frac{1}{3} d) \frac{1}{4}

Para calcular a integral \(\int_0^1 (1 + x^2)^{-1} \, dx\), podemos reconhecer que essa integral é a forma padrão da função arco-tangente. A integral de \((1 + x^2)^{-1}\) é dada por: \[ \int (1 + x^2)^{-1} \, dx = \tan^{-1}(x) + C \] Agora, vamos calcular a integral definida de 0 a 1: \[ \int_0^1 (1 + x^2)^{-1} \, dx = \left[ \tan^{-1}(x) \right]_0^1 \] Calculando os limites: \[ = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) \] Sabemos que: \(\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}\) e \(\tan^{-1}(0) = 0\). Portanto: \[ = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4} \] Assim, a alternativa correta é: a) \(\frac{\pi}{4}\)