Problema 54: Calcule o limite lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x}. a) 0 b) 1 c) 5 d) Não existe

Para calcular o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x}\), podemos usar a regra do limite fundamental que diz que \(\lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u} = 1\). Neste caso, podemos fazer a substituição \(u = 5x\). Assim, quando \(x \to 0\), \(u \to 0\) também. Portanto, podemos reescrever o limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} = \lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u/5} = 5 \cdot \lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u} = 5 \cdot 1 = 5. \] Assim, a resposta correta é: c) 5.